Prova de matemática da PUCRS - verão 2010
As questões desta prova têm como tema integrador elementos relacionados a uma orquestra sinfônica.
As questões desta prova têm como tema integrador elementos relacionados a uma orquestra sinfônica.
01. A superfície e os parafusos de afinação de um tímpano da Orquestra da PUCRS estão representados no plano complexo Argand-Gauss por um disco de raio 1, centrado na origem, e por oito pontos uniformemente distribuídos, respectivamente, como mostra a figura:
Nessa representação, os parafusos de afinação ocupam os lugares dos números complexos z que satisfazem a equação:
a) z8 = i
b) z8 = -i
c) z8 = 1
d) z8 = -1
e) z8 = 1 + i
02. Devido à epidemia de gripe do último inverno, foram suspensos alguns concertos em lugares fechados. Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares abertos, como parques ou praças. Para uma apresentação, precisou-se compor uma platéia com oito filas, de tal forma que na primeira fila houvesse 10 cadeiras; na segunda, 14 cadeiras; na terceira, 18 cadeiras; e assim por diante. O total de cadeiras foi:
a) 384
b) 192
c) 168
d) 92
e) 80
03. No projeto Sobremesa Musical, o Instituto de Cultura Musical da PUCRS realiza apresentações semanais gratuitas para a comunidade universitária. O número de músicos que atuaram na apresentação de número j do i-ésimo mês da primeira temporada de 2009 está registrado como o elemento aij da matriz abaixo:
A apresentação na qual atuou o maior número de músicos ocorreu na _________ semana do _________ mês.
a) quinta; segundo
b) quarta; quarto
c) quarta; terceiro
d) terceira; quarto
e) primeira; terceiro
04. Uma melodia é uma sequência de notas musicais. Para compor um trecho de três notas musicais sem repeti-las, um músico pode utilizar as sete notas que existem na escala musical. O número de melodias diferentes possíveis de serem escritas é:
a) 3
b) 21
c) 35
d) 210
e) 5040
05. Na implementação de um sintetizador em software, relacionam-se os coeficientes de um polinômio com os controles deslizantes numa interface gráfica. Portanto, polinômios estão ligados à geração de notas musicais. A soma das raízes da equação polinomial x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0 é
a) -6
b) 0
c) 3
d) 6
e) 11
06. O estrado utilizado pela Orquestra tem uma base em forma de arco, correspondente à região limitada pelas circunferências de equações x2 + y2 = a2 e x2 + y2 = b2, com a > b, e pelas retas definidas por y = x e y = -x. A área R desta região é dada pela fórmula:
07. Para representar os harmônicos emitidos pelos sons dos instrumentos da orquestra, usam-se funções trigonométricas. A expressão 2sen2 x + 2cos2 x - 5 envolve estas funções e, para π < x < 3π/2, seu valor de é:
a) -7
b) -3
c) -1
d) 2π - 5
e) 3π - 5
08. A função exponencial é usada para representar as frequências das notas musicais. Dentre os gráficos abaixo, o que melhor representa a função f(x) = ex + 2 é:
09. O metrônomo é um relógio que mede o tempo musical (andamento). O metrônomo mecânico consiste num pêndulo oscilante, com a base fixada em uma caixa com a forma aproximada de um tronco de pirâmide, como mostra a foto.
Na representação abaixo, a é o lado da base maior, b é o lado da base menor e V é o volume do tronco de pirâmide ABCDEFGH. Se a = 4b e P é o volume total da pirâmide ABCDI, então:
a) V = 3P/4
b) V = 3P/16
c) V = 15P/16
d) V = 15P/64
e) V = 63P/64
10. Pitágoras estabeleceu a seguinte relação entre as sete notas musicais e números racionais:
Para encontrarmos o número 16/27 relativo à nota LÁ, multiplicamos 2/3 (o correspondente da nota SOL) por 8/9. Assim, para obtermos 3/4 (relativo à nota FÁ), devemos multiplicar 64/81 (da nota MI) por
a) 8/9
b) 9/8
c) 243/256
d) 256/243
e) 192/324
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